荷重・応力・ひずみ｜公式・単位・安全率を計算例で解説

荷重・応力・ひずみは、外から加わる力、材料内部の負担、変形の割合を順に表す言葉です。計算では、単位をそろえることと、公式が使える条件を確認することが重要です。

消防試験研究センターの科目表では、乙種第5類・第6類の「基礎的知識（機械）」は各5問です。ただし、これは科目全体の問題数であり、荷重・応力・ひずみという個別テーマの出題回数を示すものではありません。

荷重の種類

荷重は、部材に力が加わる向きや変形のしかたから整理できます。

実際の部材には複数の荷重が同時に働くことがあります。たとえば、ボルトに引張りとせん断が同時に生じる場合は、どれか1種類だけと決めつけず、荷重条件を分けて確認します。

時間による分類

同じ最大荷重でも、静かに一度加える場合と、繰り返し加える場合では破壊の考え方が異なります。荷重の大きさだけでなく、回数、速度、向き、温度、腐食環境なども材料の挙動に影響します。

応力とは

応力は、荷重を受けた材料内部に生じる単位面積当たりの力です。まっすぐな棒へ軸方向に一様な引張荷重または圧縮荷重が加わる単純な場合、平均垂直応力は次の式で表せます。

応力のSI単位はPa（パスカル）で、1Pa = 1N/m²です。断面積をmm²で扱うときは、次の関係が便利です。

計算例

断面積100mm²の棒へ、軸方向に1,000Nの引張荷重を一様に加えます。

σ = 1,000N / 100mm²
= 10N/mm²
= 10MPa

ひずみとは

ひずみは、元の寸法に対してどれだけ変形したかを表す割合です。軸方向の伸びまたは縮みを扱う場合は、次の式を使います。

分子と分母がどちらも長さなので、ひずみは無次元です。百分率で示すこともあります。

計算例

長さ2mの棒が2mm伸びた場合、まず単位をそろえます。

L = 2m = 2,000mm
ε = 2mm / 2,000mm
= 0.001 = 0.1%

フックの法則とヤング率

材料の応力とひずみが直線関係にある範囲では、次の式で表せます。

ヤング率は応力―ひずみ線図の初期の直線部分の傾きで、材料の弾性的な変形しにくさを示します。値が大きいほど、同じ応力に対する弾性ひずみは小さくなります。

ただし、フックの法則はすべての荷重範囲で成り立つわけではありません。また、ヤング率や強度は同じ材料名でも、材種、温度、加工、熱処理などによって異なります。計算では問題文で与えられた値を使います。

伸びを求める計算例

長さ1.5m、断面積50mm²の棒へ3,000Nの引張荷重を加えます。問題でヤング率E = 200GPaが与えられたときの伸びを求めます。

1. 応力：σ = 3,000N / 50mm² = 60N/mm² = 60MPa
2. ひずみ：ε = σ / E = (60 × 10⁶) / (200 × 10⁹) = 0.0003
3. 伸び：ΔL = εL = 0.0003 × 1.5m = 0.00045m = 0.45mm

この計算は、棒が一様で、軸方向荷重を受け、線形弾性関係が成り立つという前提で行っています。

応力―ひずみ線図の読み方

引張試験では、試験片へ荷重を加え、応力とひずみの関係を調べます。線図の形は材料によって異なるため、すべての材料が同じ順序・形を示すとは限りません。

軟鋼のように降伏が明瞭な材料もあれば、明瞭な降伏点を示さず、規定の永久ひずみに基づく耐力を使う材料もあります。「比例限度→弾性限度→降伏点→引張強さ→破断」が全材料に必ず現れる、と一般化しないことが大切です。

弾性変形と塑性変形

実際には、弾性と塑性の境界や破壊のしかたは材料・形状・温度・荷重速度などで変わります。見た目が元に戻っただけで健全性を判断せず、製品の点検基準に従います。

安全率と許容値

安全率は、設計に余裕を持たせるための係数です。ただし、分野や規格により、強さと使用応力の比として扱う場合と、設計荷重へ掛ける係数として扱う場合があります。

単純な計算問題で次の関係が指定されている場合は、その定義に従います。

単純化した計算例

問題文で「基準強さ450MPa、安全率3」と定義された場合、

許容応力 = 450MPa / 3 = 150MPa

さらに、軸方向荷重を受ける断面積が200mm²なら、

F = σA = 150N/mm² × 200mm²
= 30,000N = 30kN

これは指定された単純モデルの計算結果です。実物の設計では、形状、応力集中、荷重の組合せ、疲労、腐食、製造ばらつき、適用規格などを別途確認します。

計算手順

1. 対象を確認：軸力、曲げ、ねじりなど、どの荷重かを確認する
2. 条件を確認：一様断面、線形弾性など、公式の前提を確認する
3. 単位をそろえる：Nとmm²ならN/mm²、Nとm²ならPaで計算する
4. 公式へ代入：記号の意味を確認して数値を入れる
5. 桁を確認：MPa、GPa、mm、mの変換を再確認する
6. 答えの意味を確認：応力、ひずみ、伸び、荷重のどれを求めたか確認する

オリジナル確認問題

問題1

棚板に物を載せ、板がたわむとき、中心となる荷重分類はどれですか。

1. 引張荷重
2. 圧縮荷重
3. 曲げ荷重
4. ねじり荷重

問題2

断面積100mm²の棒へ1,000Nの軸方向引張荷重を一様に加えました。平均垂直応力はいくらですか。

1. 0.1MPa
2. 1MPa
3. 10MPa
4. 100MPa

問題3

長さ2,000mmの棒が2mm伸びました。軸方向ひずみはいくらですか。

1. 0.0001
2. 0.001
3. 0.01
4. 0.1

問題4

σ = Eεの関係について適切な説明はどれですか。

1. すべての材料・荷重範囲で成立する
2. 一軸の線形弾性域で用いる
3. 塑性変形だけを表す
4. Eは安全率を表す

問題5

長さ1.5m、断面積50mm²の棒へ3,000Nを加えます。E = 200GPaとすると、線形弾性域での伸びはいくらですか。

1. 0.045mm
2. 0.45mm
3. 4.5mm
4. 45mm

問題6

問題文で基準強さ450MPa、安全率3、断面積200mm²と定義されています。許容応力を基準強さ/安全率で求めるとき、許容される軸方向荷重はいくらですか。

1. 3,000N
2. 15,000N
3. 30,000N
4. 90,000N

まとめ

• 荷重は作用のしかたと時間変化の両面から整理する
• 一様な軸方向荷重の平均垂直応力はσ = F/A
• 軸方向ひずみはε = ΔL/Lで無次元
• σ = Eεは線形弾性域で用いる
• 応力―ひずみ線図の形や降伏の現れ方は材料によって異なる
• 安全率の定義と基準強さは問題文・適用規格を確認する

力とモーメントは「力のつりあいとモーメント」、材料ごとの違いは「材料の性質」、圧力の基礎は「圧力・流体の基礎」で整理しています。

一次情報・参考資料

• 消防試験研究センター「試験科目及び問題数」
• NIST Guide to the SI「SI derived units」
• NASA「Modulus of Elasticity, or Young's Modulus」
• NASA「Mechanical Testing」
• NASA-STD-5001「Structural Design and Test Factors of Safety」